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wordpress创建企业网站,网站建设怎样中英文,闵行区企业服务平台,优化关键词技巧原文地址#xff1a;回到十七世纪#xff0c;让我来编算一本常用对数表作者#xff1a;小牛 自十八、九岁学习了对数后#xff0c;就觉得造对数表真不简单。据说十七世纪那时#xff0c;说如果谁发现了对数表上有一个数字错#xff0c;就奖一两黄金。 据百科百度#x…  原文地址回到十七世纪让我来编算一本常用对数表作者小牛 自十八、九岁学习了对数后就觉得造对数表真不简单。据说十七世纪那时说如果谁发现了对数表上有一个数字错就奖一两黄金。 据百科百度纳皮尔(15501617年),苏格兰数学家,对数的创始人。他的最大贡献是发明了对数。纳皮尔的杰作《奇妙的对数定律说明书》于1614年6月在爱丁堡出版。纳皮尔的朋友英国人布里格斯将纳皮尔创立的对数改为常用对数,它才得到广泛使用。并在1624年出版了《对数算术》公布了以10为底包含1—20000及90000—100000的14位常用对数表。  1671年著名的德国数学家莱布尼兹G.W.Leibnitz制成了第一台能够进行加、减、乘、除四则运算的机械式计算机。 可见布里格斯编算常用对数表时机械式计算机还未发明看来只能是手算了。 我那时不知道十七世纪是怎样编算对数表的。但我还是想自己亲手来编一份那怕为数很少也可以只想弄明白对数表是怎样编算的。这一心愿几十年来一直没有了结。 想起二十世纪五六十年代对数表不能离手少了它就无法工作真不胜感慨。当70年代用上了飞鱼牌手摇计算机后就告别了六位对数表。当80年代用上了电子计算器后又告别了八位函数表和手摇计算机。在电脑已普及的今天我仍有用手算方法来造对数表的想法这似乎有点可笑但“怎样造原始的对数表”的问题仍牵引着我的心一直想了此一事。 想不到年老了竟灵光一闪得到了一个造表方法并且可以分配到许多人各自独立计算不同的数值范围最后汇集于一起成为一本对数表这样就可以较快完成不必化几年、乃至几十年时间了。 所谓常用对数就是以10为底时有方程10^DZ。如果知道一个数Z (叫真数)则10的指数就是D D就叫十进对数也叫常用对数。 给出Z求D。 并以D Lg Z表示之。例如10^D2给出2求D。 并以D Lg2表示之。查对数表可得D Lg2 0.30103即10^0.30103 2 。亦即10的0.30103次方等于2。 10的整数次乘方可以算可是0.30103次方怎么算呢真是无法理解。但如果说因为0.3010330103/100000那末先算10的30103的次方再开100000次方倒是有道理的但2的对数是0.30103决不可能是这样算的所以仍很玄。那么2的对数是0.30103到底是怎样算出来的呢 这么一想就有一个启发就是10的零点几次方可以这样算先乘方、再开方而主要是开方。例如10的开平方就是10的0.5次方。10的开3方就是10的0.33333次方等等。受此启发经反复试算得到编算常用对数表的步骤和方法 1  先求最基础的对数 1 、我想世界上第一个常用对数可能就是3.16227766的对数0.5。因为  3.16227766 √10 10^¹⁄₂ 10^0.5 而0.5就是它的对数。10的开方用笔算可以一次开出也可以用逐步试算趋近。如先用3.16*3.169.9856不够再用3.163*3.16310.004569超过了一点再用 3.16228*3.16228 10.0000147984…最后定为3.16227766。也就是说3.16227766的对数为0.500000。 2、 第二个可能就是2.15443469的对数为0.333333了。因为2.15443469 3√10 10^¹⁄₃ 10^0.33333 而0.3333333就是它的对数。10的开3方比较麻烦可以逐步试算趋近。如先用2.15*2.15*2.15 9.9384不够再用2.1544*2.15442.1544 9.99952还不够再试最后定为2.15443469。也就是说2.15443469的对数为0.333333。 3 3.16227766的对数为0.500000。2.15443469的对数为0.333333…这样的对数我称它们为最基础的对数。最基础的对数需要多少个呢这里仅算出8个我想也许够了。 即只要计算 10的1/2次方亦即10的开2次方。注意2是素数。 10的1/3次方亦即10的开3次方。注意3是素数。 10的1/5次方亦即10的开5次方。注意5是素数。 10的1/7次方亦即10的开7次方。注意7是素数。 10的1/11次方亦即10的开11次方。注意11是素数。 10的1/13次方亦即10的开13次方。注意13是素数。 10的1/17次方亦即10的开17次方。注意17是素数。 10的1/19次方亦即10的开19次方。注意19是素数。 就可以得到相应的对数。用这些最基础对数再去拓展其他的对数。计算这些最基础对数只要用开方就可以了。开方虽然很烦特别是开7次方以上时要逐步、反覆连乘7次以上来校核改进的确很烦但毕竟是可以用手工算得出来的。我想在十七世纪时也只能这样硬算了。 4 、  而10的开4次方 10的开6次方 10的开15次方…就不必了因为它们可以根据上述最基础的对数就能方便算出的不必白费力气了。 由  10  的  开 D 次 方 所 得 的 《基  础 对  数  表》           10的开 D次方 最基础的真数Z 相应的对数D 即10的指数D   2√10 3.162277660 0.500000 D1/2   3√10 2.154434690 0.333333 D1/3   5√10 1.584893192 0.200000 D1/5   7√10 1.389495494 0.142857 D1/7   11√10 1.232846739 0.090909 D1/11   13√10 1.193776642 0.076923 D1/13   17√10 1.145047570 0.058824 D1/17   19√10 1.128837892 0.052632 D1/19   2  基 础 对 数 表 扩 充 有了上面的最基础的对数之后就根据对数基本原理真数相乘除对数便加减的方法可将最基础的对数扩充。例如 1   (2√10)(5√10) 3.162277660*1.5848931925.01187 相应之对数为0.5000000.2000000.70000 2   (2√10)/(5√10) 3.^162277660⁄₁.5848931921.99526 相应之对数为0.500000-0.2000000.30000 3  这样扩充后的对数共96个见下表 基 础 对 数 扩 充 表                 由最基础的真数和对数经真数乘除、对数加减而得   真数     对数     真数     对数     真数     对数 1.00546 0.00236 1.55052 0.19048 3.89860 0.59091 1.00557 0.00241 1.56852 0.19549 4.39397 0.64286 1.00874 0.00378      1.58489 0.20000 4.64159 0.66667 1.00952 0.00411 1.59104 0.20168 5.01187 0.70000 1.01436 0.00619 1.65875 0.21978 5.23960 0.71930 1.01811 0.00779 1.71303 0.23376 5.54100 0.74359 1.03273 0.01399 1.74753 0.24242 5.72240 0.75758 1.04256 0.01810 1.78909 0.25263 6.44950 0.80953 1.05753 0.02429 1.80472 0.25641 6.81290 0.83333 1.07668 0.03209 1.81478 0.25882 7.22480 0.85883 1.09214 0.03828 1.89201 0.27692 7.35640 0.86667 1.12706 0.05195 1.90854 0.28070 7.53220 0.87692      1.12884 0.05263 1.93070 0.28571 7.77870 0.89091 1.14062 0.05714 1.95393 0.29091 8.12410 0.90978      1.14505 0.05882 1.99526 0.30000 8.24070 0.91596 1.16395 0.06593      2.15443 0.33333 8.59140 0.93406      1.19378 0.07692 2.20220 0.34286 8.76741 0.94287 1.23091 0.09023 2.27585 0.35714 8.87260 0.94805      1.23285 0.09091 2.43201 0.38597 9.15640 0.96172 1.28556 0.10909 2.46693 0.39216 9.28780 0.96791 1.31113 0.11765 2.51189 0.40000 9.45600 0.97571 1.32763 0.12308 2.56502 0.40909 9.59180 0.98190 1.35936 0.13333 2.57191 0.41026 9.68310 0.98601 1.36693 0.13575 2.64897 0.42308 9.85840 0.99381 1.38413 0.14118 2.76170 0.44118 9.85840 0.99381      1.38950 0.14286 2.80136 0.44737 9.85840 0.99381 1.39168 0.14354 2.99358 0.47619 9.85840 0.99381 1.40400 0.14737      3.16228 0.50000 9.85840 0.99381 1.41167 0.14973 3.41455 0.53333 9.85840 0.99381 1.42510 0.15385 3.56970 0.55263 9.85840 0.99381 1.46780 0.16667 3.62096 0.55882 9.85840 0.99381 1.47174 0.16783 3.77505 0.57692 9.85840 0.99381 当然这个表很小数量远远不够。但可以作基础再通过多次交错乘除得到更多的对数。但要想通过更多次交错乘除得到全部对数是不可能的得另找出路。其实只要设法先求出“素数的对数”那就一劳永逸地解决问题了。这张《基础对数扩充表》就为下一步求“素数的对数”作了准备。 3 求素数的对数 大家知道合数是素数的乘积。所以只要知道素数的对数就可以用乘除、加减法算出合数的对数。于是任何数的对数都可以算出。那末素数的对数怎样求呢 分两步 第一选择数据。在《对数扩充表》内选择尽量靠近所求素数的两个数。例如要算2的对数表中仅有真数1.99526与2.20220 其中1.99526离2很近选中。而2.20220离2还远我们就不用它另找。方法是仍利用上面的对数扩充表找到1.95393与1.03273两个数相乘得 1.953931.032732.01788(离2很近了)选中。其相应对数为 0.290910.013990.30490 。 这样就取1.99526与2.01788两个数去内插求2的对数。1.99526与2.01788这两个数称做逼近值。 第二内插。 真数         对数 a 1.99526     A0.30000 b 2.01788     B0.30490    求 Z2 的对数。 在很小区间内(所求值百分之一、二的误差)采用线性内插公式  Lg Z A(B-A)/(b-a)(Z-a) 计算得Lg 2 0.30103 这个方法只用到乘除、加、减所以可用手算。为减少工作量最好多采用乘法去找逼近值、内插。 以下是 Lg 2、Lg 3、 Lg 5、Lg 7 、Lg41、Lg 43的计算过程 数 据 准 备 中 的 真 数 和 对 数 来自 《基 础 对 数 扩 充 表》               　 代码式 真数 对数 代码式 真数 对数 数据准备 1 1.99526 0.30000 2 1.95393 0.29091 　 　   　 3 1.03273 0.01399 　 　 　 　 423 2.01788 0.30490 　           Lg ZA(B-A)/(b-a)(Z-a) 内插 1 a 1.99526 A0.30000 Z2   Lg 20.30103 　 4 b 2.01788 B0.30490 　 　                 　 代码式 真数 对数 代码式 真数 对数 数据准备 1 2.99358 0.47619 2 3.77505 0.57692 　 　 　 　 3 1.23091 0.09023 　 　 　 　 ⁴²⁄₃ 3.06688 0.48669 　 　 　 　     Lg ZA(B-A)/(b-a)*(Z-a) 内插 1 a 2.99358 A0.47619 Z3   Lg 30.47711 　 4 b 3.06688 B0.48669 　 　                 　 代码式 真数 对数 代码式 真数 对数 数据准备 1 5.01187 0.70000 2 4.64159 0.66667 　 　 　 　 3 1.05753 0.02429 　 　 　 　 423 4.90862 0.69096 　           Lg ZA(B-A)/(b-a)(Z-a) 内插 4 a 4.90862 A0.69096 Z5   Lg 50.69896 　 1 b 5.01187 B0.70000 　 　                 　 代码式 真数 对数 代码式 真数 对数 数据准备 1 7.22480 0.85883 4 7.35640 0.86667 　 2 1.03273 0.01399 5 1.04256 0.0181 　 ³¹⁄₂ 6.99583 0.84484 ⁶⁴⁄₅ 7.05609 0.84857 　           Lg ZA(B-A)/(b-a)*(Z-a) 内插 3 a 6.99583 A0.84484 Z7   Lg 70.84510 　 6 b 7.05609 B0.84857 　 　             代码式 真数 对数 代码式 真数 对数 数据准备 1 5.23960 0.71930 4 9.28780 0.96791 　 2 1.27427 0.10526 5 2.27585 0.35714 　 31*2 4.11184 0.61404 645 4.08102 0.61077 　 　   　     Lg ZA(B-A)/(b-a)(Z-a) 内插 6 a4.08102 A0.61077 Z41   Lg 410.61278 　 3 b4.11184 B0.61404 　 　 　 代码式 真数 对数 代码式 真数 对数 数据准备 1 3.77505 0.57692 4 4.39397 0.64286 　 2 1.14062 0.05714 5 1.01811 0.00780 　 312 4.30590 0.63406 ⁶⁴⁄₅ 4.31582 0.63506 　 　   　     Lg ZA(B-A)/(b-a)(Z-a) 内插 3 a4.3059 A0.63406 Z43   Lg 430.63347 　 6 b4.31582 B0.63506 　 　 　 其他素数的对数计算过程完全相同。以 下 是 100 以 内 25个 素 数 的 对 数 素数 对数 素数 对数 素数 对数 2 0.30103 29 1.46240 67 1.82607 3 0.47712 31 1.49136 71 1.85126 5 0.69897 37 1.56820 73 1.86332 7 0.84510 41 1.61278 79 1.89763 11 1.04139 43 1.63347 83 1.91908 13 1.11394 47 1.67210 89 1.94939 17 1.23045 53 1.72428 97 1.98677 19 1.27875 59 1.77085     23 1.36173 61 1.78533     4  求合数的对数 有了相当多的素数的对数后合数的对数就很容易算了。方法如下 合数 素数相乘 素数对数相加 合数的对数 合数 4 2*2 0.301030.30103 0.60206 4 6 2*3 0.301030.47712 0.77815 6 8 2*4 0.301030.60206 0.90309 8 9 3*3 0.477120.47712 0.95424 9 10 2*5 0.301030.69897 1.00000 10 12 3*4 0.477120.60206 1.07918 12 14 2*7 0.301030.84510 1.14613 14 15 3*5 0.477120.69897 1.17609 15 16 4*4 0.602060.60206 1.20412 16 18 3*6 0.477120.77815 1.25527 18 20 4*5 0.602060.69897 1.30103 20 21 3*7 0.477120.84510 1.32222 21 22 2*11 0.301031.04139 1.34242 22 24 4*6 0.602060.77815 1.38021 24 … … … … … 96 3*4*8 0.477120.602060.90309 1.98227 96 98 2*7*7 0.301030.845100.84510 1.99123 98 99 3*3*11 0.477120.477121.04139 1.99563 99 … … … … … 附1 0 0  以 内  的  十 四 位  对  数  表 录自电脑可与上述计算结果对比看误差有多大。 N Lg N N Lg N N Lg N 1 0.00000000000000 34 1.53147891704226 67 1.82607480270083 2 0.30102999566398 35 1.54406804435028 68 1.83250891270624 3 0.47712125471966 36 1.55630250076729 69 1.83884909073726 4 0.60205999132796 37 1.56820172406699 70 1.84509804001426 5 0.69897000433602 38 1.57978359661681 71 1.85125834871908 6 0.77815125038364 39 1.59106460702650 72 1.85733249643127 7 0.84509804001426 40 1.60205999132796 73 1.86332286012046 8 0.90308998699194 41 1.61278385671974 74 1.86923171973098 9 0.95424250943933 42 1.62324929039790 75 1.87506126339170 10 1.00000000000000 43 1.63346845557959 76 1.88081359228079 11 1.04139268515823 44 1.64345267648619 77 1.88649072517248 12 1.07918124604762 45 1.65321251377534 78 1.89209460269048 13 1.11394335230684 46 1.66275783168157 79 1.89762709129044 14 1.14612803567824 47 1.67209785793572 80 1.90308998699194 15 1.17609125905568 48 1.68124123737559 81 1.90848501887865 16 1.20411998265592 49 1.69019608002851 82 1.91381385238372 17 1.23044892137827 50 1.69897000433602 83 1.91907809237607 18 1.25527250510331 51 1.70757017609794 84 1.92427928606188 19 1.27875360095283 52 1.71600334363480 85 1.92941892571429 20 1.30102999566398 53 1.72427586960079 86 1.93449845124357 21 1.32221929473392 54 1.73239375982297 87 1.93951925261862 22 1.34242268082221 55 1.74036268949424 88 1.94448267215017 23 1.36172783601759 56 1.74818802700620 89 1.94939000664491 24 1.38021124171161 57 1.75587485567249 90 1.95424250943932 25 1.39794000867204 58 1.76342799356294 91 1.95904139232109 26 1.41497334797082 59 1.77085201164214 92 1.96378782734556 27 1.43136376415899 60 1.77815125038364 93 1.96848294855394 28 1.44715803134222 61 1.78532983501077 94 1.97312785359970 29 1.46239799789896 62 1.79239168949825 95 1.97772360528885 30 1.47712125471966 63 1.79934054945358 96 1.98227123303957 31 1.49136169383427 64 1.80617997398389 97 1.98677173426624 32 1.50514997831991 65 1.81291335664286 98 1.99122607569249 33 1.51851393987789 66 1.81954393554187 99 1.99563519459755 5  分工合作、同心协力编常用对数表 最基础对数→对数扩充表→素数的对数→合数的对数这样的四个步骤使许多人同时作业成为可能。组织分工如下 1、先由少数人计算最基础对数。要准取位要多如编八位对数表最基础对数至少要取十位以上。 2、再由少数人分工计算对数扩充表。最基础对数与对数扩充表便作为公用。 3、组织许多人同时计算素数的对数。每人分担一段如1—50 、50—100 、 101—200 、 201—400…在各自范围内计算素数的对数。素数的对数也作为公用。 4、组织许多人同时计算合数的对数。也是每人分担一段既互用成果又互不干涉。 5、每人每天的成果汇总公布以便下一步工作时互相利用提高工效。 结 语 假如把乘除比作一条汹涌的河那末对数表就是一座平缓的桥。它使众多的实用计算者较轻松的到达彼岸极大的提高工作效率。但时隔三百年至于今天那些造桥的人乃至造桥的方法己淹没在历史的巨卷之中对数表也进入了历史博物馆。 我们纪念逝去的人还要发愿要发扬先辈追求真理、为全人类效力的精神为科学的理性发展而学习、而奋斗 2012年6月 端午期间